SIGNIFICATO GEOMETRICO INTEGRALE

Significato geometrico integrale.

Significato geometrico integrale:
L' integrale della funzione f(x) rappresenta l'area sottesa alla curva.
Trattandosi di un integrale definito ci limiteremo all' area sottesa alla curva nell' intervallo di diapositiva [b;c].
Diversamente, se ci si riferisce ad un integrale indefinito, faremo riferimento all' intera area che sottende la curva in esame.

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

Funzioni trigonometriche

In diapositiva è mostrato l' andamento delle funzioni trigonometriche elementari sin(x) e cos(x).
Si nota la loro periodicità di 2  . 

ESEMPIO DI LIMITE NON ESISTENTE.

Funzione sin(1/x)

Esempio di limite che non esiste per x—>0 della funzione sin(1/x).
Si tratta di una funzione che presenta un andamento oscillante nell' intorno dello zero.
Non esiste perciò un limite unico, i possibili  valori che il limite potrebbe assumere  sono infiniti e compresi nell' intervallo [-1;1].

APPLICAZIONE: PRINCIPIO DI FLUSSO DEI FLUIDI-TEOREMA DI BERNOULLI

Teorema di Bernoulli

L' equazione di Bernoulli rappresenta un caso particolare del principio di conservazione dell' energia per fluidi incomprimibili in regime stazionario ovvero le grandezze non variano rispetto al tempo (condizione di regime) .

Di seguito, in diapositiva, è mostrata la dimostrazione:

Dimostrazione Teorema di Bernoulli

APPLICAZIONE: LA DISTRIBUZIONE NORMALE O DI GAUSS.

Gaussiana

In diapositiva vi è la rappresentazione della curva di Gauss o gaussiana.

La curva di Gauss o distribuzione normale  è una distribuzione di probabilità usata per descrivere l' andamento di variabili reali, in una distribuzione statistica, che tendono a concentrarsi attorno ad un valore medio.

La curva di distruzione normale ha equazione: 

Dove: 

σ rappresenta la deviazione standard della totalità delle misure.

μ rappresenta la media della totalità delle misure.

FLESSI TIPOLOGIE

Punti di Flesso

In diapositiva vi è la rappresentazione delle tipologie di flesso.

PUNTI CRITICI

Punti critici.

In diapositiva vi è la rappresentazione di punti critici.
Ciò che caratterizza un punto critico é la derivata prima nulla.
Conoscenza di fondamentale importanza per lo studio funzionale.

PUNTI DI NON DERIVABILITÀ.

Punti di non derivabilità

Una funzione presenta punti di non derivabilità se i limiti destro e sinistro delle derivate prime nel punto di interesse sono diversi fra loro.
In particolare avremo un punto angoloso se i limiti destro e sinistro delle derivate prime nel punto sono diversi e finiti entrambi oppure diversi uno finito e l' altro infinito.
Avremo, invece, un punto di non derivabilita di tipo cuspide se i limiti destro e sinistro delle derivate prime nel punto sono infiniti di segno discorde.
Avremo un punto di non derivabilità di tipo  flesso a tangente verticale se i limiti destro e sinistro delle derivate prime nel punto di interesse sono infiniti di segno concorde.

MASSIMI E MINIMI LOCALI E GLOBALI.

Massimi e minimi locali e globali.

In diapositiva vi è la rappresentazione di massimi e minimi locali e globali.
Si tratta di punti critici (derivata prima nulla).
Questi ultimi possono essere locali o globali.
Sono locali se riferiti ad un intervallo del dominio funzionale, si definiscono, invece, globali se rappresentano i punti critici  (massimi o minimi) sull' intero dominio della funzione in esame.

ANDAMENTO COEFFICIENTE ANGOLARE SU CURVA.

Andamento coefficiente angolare retta tangente alla curva funzionale.

In diapositiva vi è l' animazione della variazione del coefficiente angolare della retta tangente alla curva funzionale rappresentata.
Il coefficiente angolare "m" di una retta di equazione y= mx + q, rappresenta la pendenza della retta.
Vi è, quindi, in animazione la variazione della pendenza della retta tangente lungo la percorrenza della curva funzionale.

LIMITI AL FINITO

 reale  esiste un  numero reale positivo  tal

Possiamo affermare che una funzione f(x) ha, per x che tende ad un valore finito, un limite finito se: 

CONCETTO DI DERIVATA

Definizione di derivata in un punto:
la derivata in un punto rappresenta, dal punto di vista geometrico, il coefficiente angolare della retta tangente la curva funzionale nel punto di interesse "c".
In diapositiva animata si mostra che la derivata prima della funzione f  nel punto "c" è il numero reale risultato del limite del rapporto incrementale.
Al limite per "h" tendente a zero del rapporto incrementale △y/△x   la retta secante la curva  coincide con la tangente.
La retta tangente avrà equazione t(x)= f(c) - f'(c) (x-c), dove f'(c) è la derivata prima della funzione f nel punto "c".

APPLICAZIONE: ROBOTICA

L' intelligenza artificiale e la sua interazione con il sistema esterno sfrutta elementi basati su un analisi scientifica.
La percezione tratta dal sistema ambiente viene percepita  dal robot tramite sensori.
Il robot elabora, quindi, il segnale trasformandolo in azione.

CAMPI DI APPLICAZIONE DELLA MATEMATICA.

I molteplici aspetti e campi di applicazione scientifici che si sviluppano partendo da un concetto matematico.

PROBLEMA DI CAUCHY

Un problema di Cauchy consiste nel risolvere un sistema quindi trovare le soluzioni dell' equazione differenziale ed, infine, imporre che siano/sia  soddisfatte/a  le/la condizioni/e  al contorno di vincolo.
Nella diapositiva vediamo un esempio.

Esempio PROBLEMA Cauchy

TEOREMA DI EMMY NOETHER

Una proprietà basilare delle teorie quantistiche: se un sistema è invariante per una certa trasformazione, questo porta necessariamente alla conservazione di qualche quantità fisica.
È questa la formulazione, sviluppata dalla matematica Emmy Noether, che costituisce un fondamento per l' analisi quantistica.

Teorema di Emmy Noether

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE

Data una equazione differenziale del secondo ordine la si risolve ricorrendo al polinomio ad essa associato. Avremo quindi una equazione di secondo grado da risolvere ed il prospetto che si presenta sarà quello illustrato nella diapositiva. Il delta dell' equazione potrà essere strettamente positivo, nullo oppure strettamente negativo.
Troveremo, quindi, in ciascun dei casi  la/le soluzione/i dell' equazione differenziale.

Prospetto equazioni differenziali del secondo ordine 

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

Equazioni differenziali del primo ordine

Una equazione differenziale del primo ordine quindi lineare la si riconduce ad una forma del tipo evidenziato in diapositiva integrando ambo i membri .
Avremo quindi le/la soluzioni/e dell' equazione differenziale.
Importante sottolineare che nella diapositiva si parla al plurale perché al variare della costante "c" avremo TUTTE le soluzioni dell' equazione differenziale (soluzione generale) .
Avremo, invece, una soluzione particolare imponendo condizioni al contorno di vincolo.
(Problema di Cauchy)

INTRODUZIONE EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Diapositiva introduttiva EQUAZIONI DIFFERENZIALI

OPERATORI BOOLEANI

Operatori booleani

In figura vi è una descrizione degli operatori AND, OR, NOT utilizzati in logica matematica ed in programmazione (Tabella verità).

ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA, ALGEBRA BOOLEANA

In figura vi è una illustrazione dei connettivi OR e AND utilizzati in logica matematica.
L' algebra di Boole, inoltre, riveste un ruolo fondamentale in campo informatico. Il linguaggio di programmazione sfrutta gli operatori logici.

ESERCIZIO EQUAZIONI DIFFERENZIALI DI SECONDO GRADO

Semplice esercizio in cui viene  risolta una equazione differenziale di secondo grado omogenea(termine noto nullo). 

Scriviamo, quindi, il polinomio caratteristico associato alla differenziale e risolviamo l'equazione. Il delta è strettamente positivo e, quindi, avremo due valori di lamba reali distinti. 

La soluzione della equazione differenziale sarà quindi della forma evidenziata nel riquadro rosso dove C1 e C2 sono costanti al variare delle quali avremo tutte le soluzioni della equazione differenziale. Si sta, infatti, facendo riferimento ad una soluzione generale. 

Avremo, invece, una soluzione particolare della famiglia di soluzioni imponendo delle condizioni iniziali di vincolo.