FUNZIONI IPERBOLICHE.

-Funzione seno iperbolico:

-Funzione coseno iperbolico:

                    

-Funzione tangente iperbolica

                                                 

FUNZIONI SENO IPERBOLICO, COSENO IPERBOLICO
(APPROCCIO GRAFICO)

FUNZIONI E LORO INVERSE.

FUNZIONE INVERSA E COME CALCOLARLA ANALITICAMENTE:
Affinché la funzione inversa esista é necessario che la funzione iniziale sia invertibile. La biettività é condizione necessaria e sufficiente per l' invertibilità.
Una volta verificata la biettività, si procede con il determinare la variabile x in funzione della y partendo da una espressione del tipo y=f(x). 
Si arriverà ad una espressione del tipo x= f^(-1)(x), ove f^(-1)(x) rappresenta la funzione inversa.

FUNZIONE INVERSA APPROCCIO GRAFICO:
Dal punto di vista grafico, tracciato il grafico della nostra funzione f( x) si procede a disegnare l' inversa effettuando una simmetria di f(x) rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante y=x.

ESEMPI DI FUNZIONI INVERTIBILI:
La funzione esponenziale y=e^(x) é invertibile, la sua inversa é la funzione logaritmo y=log(x), come emerge dalle seguenti rappresentazioni grafiche:

Funzione esponenziale

                                               

Funzione logaritmo.

COMPOSIZIONE FUNZIONI.

FUNZIONE COMPOSTA 

Diapositiva esplicativa composizione funzionale.

APPROSSIMAZIONE DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE : LA PARABOLA OSCULATRICE.

Sia f :]a, b[→ R una funzione derivabile in ]a, b[ con derivata continua in un punto
x0 ∈]a, b[.
Sotto  queste ipotesi la retta tangente al grafico di f, nel punto (x0,f(x0)),  ha equazione:
y = f(x0) + f '(x0)(x −x0).
Tra tutte le rette che passano per il punto (x0, f(x0)), la retta tangente é quella  che “meglio approssima” il grafico di f “vicino”al punto x0.
Ci chiediamo allora se esista, e quale sia, la parabola che meglio approssima il grafico di f tra tutte le parabole che passano per (x0, f(x0)).
Fra le infinite parole che passano per (x0, f(x0)), quella che meglio approssima il grafico di f è la cosiddetta parabola osculatrice.
Quest' ultima ha equazione:
y = f(x0) + f '(x0)(x − x0) + (f '(x0)/2)(x − x0)^(2)

Una animazione per comprendere cos' è la parabola osculatrice.

GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI.

Grafici di funzioni elementari.

FUNZIONE DI HEAVISIDE, FUNZIONE UNIT STEP, FUNZIONE GENERALIZZATA DELTA DI DIRAC

 FUNZIONE DI HEAVISIDE

Si tratta di una funzione così definita:

É anche detta funzione tetha o funzione gradino.

Funzione di Heaviside.

FUNZIONE UNIT STEP 

Si tratta di una funzione così definita:



{\ displaystyle H [n] = {\ begin {cases} 0, & n <0, \\ 1, & n \ geq 0, \ end {casi}}}

Tale funzione presenta una discontinuità di prima specie in x = 0, in quanto:

lim  U(x)= 1 ; lim U(x) =0 

 x→ 0+              x → 0-

con salto di discontinuità pari a 1.

Funzione Unit Step.

LE FUNZIONI PRESENTATE HANNO IN COMUNE IL PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE CON LA DIFFERENZA CHE LA HEAVISIDE NON É DEFINITA IN ZERO.

Identificazione della funzione di Heaviside con la Unit Step:

Funzioni di Heaviside, Unit Step, Delta di Dirac.

La derivata prima della funzione Unit Step è la funzione generalizzata Delta di Dirac.
(funzione in rosso in animazione)

LA FUNZIONE UNIT STEP E LA DELTA DI DIRAC sono utilizzate per applicazioni in campo fisico per lo studio di segnali attivati in un dato istante e mantenuti costanti successivamente.
La funzione generalizzata Delta di Dirac è, infatti, anche detta funzione impulsiva.

{\displaystyle \Theta (x)={\begin{cases}0,&x<0\\1,&x\geqslant 0\end{cases}}}

FUNZIONI PERIODICHE.

Sia f :D →R una funzione, D ⊆ R e sia T un numero reale positivo.
Si dice che f è periodica di periodo T se, per ogni x ∈ D e per ogni k ∈ Z , si ha
f(x +kT) = f (x)

Funzione periodica.

Le funzione periodiche sono del tipo : Asen(wx+f ).
Introduciamo della terminologia:

A è l'ampiezza;

w è la pulsazione;

2  /w è il periodo;

il reciproco del periodo è la frequenza;

f è lo sfasamento.

Le vibrazioni (onde) indipendentemente dalla loro origine (sonora, luminosa, meccanica) sono la sovrapposizione di onde sinusoidali pure descritte da una equazione di moto armonico.
Una legge sinusoidale ha un'equazione del tipo:

x (t) = A cos (φ) (oppure x (t) = A sen (φ)) ove φ è l' angolo di fase.

FUNZIONI: INIETTIVITÀ, SURIETTIVITÀ, BIETTIVITÀ.

INIETTIVITÀ:

Una funzione è iniettiva se prese due variabili diverse fra loro, appartenenti al dominio della funzione, le rispettive immagini risultano diverse.

Analiticamente scriveremo:

                                        

${\displaystyle \forall x,y\in X,\;\;x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y).}$                                           

dove X é l' insieme dominio.

SURIETTIVITÀ:

Funzione Suriettiva.

Una funzione f: A-->B è detta suriettiva se per ogni y appartenente a  B, esiste una  x appartenente ad A tale che  f(x) = y



BIETTIVITÀ: 


Una funzione è biettiva o bigettiva se è iniettiva e suriettiva.

Funzione Biettiva.

Condizione necessaria e sufficiente per l' invertibilità funzionale é l' iniettività e suriettività.

                

ANDAMENTO COEFFICIENTE ANGOLARE SU CURVA.

Andamento coefficiente angolare retta tangente alla curva funzionale.

In diapositiva vi è l' animazione della variazione del coefficiente angolare della retta tangente alla curva funzionale rappresentata.
Il coefficiente angolare "m" di una retta di equazione y= mx + q, rappresenta la pendenza della retta.
Vi è, quindi, in animazione la variazione della pendenza della retta tangente lungo la percorrenza della curva funzionale.

Significato geometrico funzioni trigonometriche.

 

In figura è mostrato il significato geometrico di funzioni trigonometriche quali seno, coseno, tangente, cotangente (reciproco tangente), cosecante (reciproco seno),
secante (reciproco coseno)

Tangente: significato geometrico