INVERTIBILITÀ FUNZIONALE ( ESEMPI). TEOREMA DI CONTINUITÀ DELLA FUNZIONE INVERSA.

Esempi di funzioni invertibili sul loro dominio: 

Potenza di x: La funzione y=(x)^3 é iniettiva e suriettiva quindi invertibile.
Per ricavare l'inversa, decido di sfruttare il grafico, applico, quindi, il metodo grafico procedendo a tracciare la birettrice del primo e terzo quadrante e a ricavare il simmetrico del grafico rispetto a tale retta.

Inversa Potenza di x: 

La funzione y= (x)^3 ha per inversa y= (x)^(1/3)

Continuità e invertibilità:

TEOREMA DI CONTINUITÀ DELLA FUNZIONE INVERSA:

Sia f:[a;b]-->R una funzione continua ed iniettiva. Allora l' inversa f^(-1) : f([a;b])-->R é continua

FUNZIONI E LORO INVERSE.

FUNZIONE INVERSA E COME CALCOLARLA ANALITICAMENTE:
Affinché la funzione inversa esista é necessario che la funzione iniziale sia invertibile. La biettività é condizione necessaria e sufficiente per l' invertibilità.
Una volta verificata la biettività, si procede con il determinare la variabile x in funzione della y partendo da una espressione del tipo y=f(x). 
Si arriverà ad una espressione del tipo x= f^(-1)(x), ove f^(-1)(x) rappresenta la funzione inversa.

FUNZIONE INVERSA APPROCCIO GRAFICO:
Dal punto di vista grafico, tracciato il grafico della nostra funzione f( x) si procede a disegnare l' inversa effettuando una simmetria di f(x) rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante y=x.

ESEMPI DI FUNZIONI INVERTIBILI:
La funzione esponenziale y=e^(x) é invertibile, la sua inversa é la funzione logaritmo y=log(x), come emerge dalle seguenti rappresentazioni grafiche:

Funzione esponenziale

                                               

Funzione logaritmo.

FUNZIONI: INIETTIVITÀ, SURIETTIVITÀ, BIETTIVITÀ.

INIETTIVITÀ:

Una funzione è iniettiva se prese due variabili diverse fra loro, appartenenti al dominio della funzione, le rispettive immagini risultano diverse.

Analiticamente scriveremo:

                                        

${\displaystyle \forall x,y\in X,\;\;x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y).}$                                           

dove X é l' insieme dominio.

SURIETTIVITÀ:

Funzione Suriettiva.

Una funzione f: A-->B è detta suriettiva se per ogni y appartenente a  B, esiste una  x appartenente ad A tale che  f(x) = y



BIETTIVITÀ: 


Una funzione è biettiva o bigettiva se è iniettiva e suriettiva.

Funzione Biettiva.

Condizione necessaria e sufficiente per l' invertibilità funzionale é l' iniettività e suriettività.