LIMITI E PERIODICITÀ.

Funzione sin(x^2)

Osservazioni:

Sia f una funzione periodica seguirà che la funzione f é non regolare per |x| -->+∞

Per regolarità si intende l' esistenza del limite finito o infinito.

f é periodica-->f é non regolare per |x| -->+∞.

La seguente implicazione non é, peró, invertibile. 

Un esempio di quando detto é dato dalla funzione in gif , sin(x^2).

Si tratta di una funzione non periodica e non regolare ovvero non ammette limite per |x| -->+∞.

Quindi si afferma che la non regolarità per |x|-->+∞ é condizione necessaria ma non sufficiente per la periodicità.

L' ORIGINE DEL CONCETTO DI LIMITE.

Una delle prime teorizzazioni del concetto di limite, successivamente sviluppato come lo conosciamo oggi. 

Il concetto di limite fu sviluppato inizialmente per approcciarsi al calcolo di aree e al calcolo infinitesimale.

Metodo di esaustione.

LIMITI

Limite all' infinito per x che tende ad un valore finito.

Possiamo affermare che una funzione f(x) ha, per x che tende ad un valore finito, un limite infinito se la seguente definizione risulta verificata:

Limite al finito per x che tende ad un valore finito.

Possiamo affermare che una funzione f(x) ha, per x che tende ad un valore finito, un limite finito se la seguente definizione risulta verificata:

ESEMPIO DI LIMITE NON ESISTENTE.

Funzione sin(1/x)

Esempio di limite che non esiste per x—>0 della funzione sin(1/x).
Si tratta di una funzione che presenta un andamento oscillante nell' intorno dello zero.
Non esiste perciò un limite unico, i possibili  valori che il limite potrebbe assumere  sono infiniti e compresi nell' intervallo [-1;1].

LIMITI AL FINITO

 reale  esiste un  numero reale positivo  tal

Possiamo affermare che una funzione f(x) ha, per x che tende ad un valore finito, un limite finito se: 

CONCETTO DI DERIVATA

Definizione di derivata in un punto:
la derivata in un punto rappresenta, dal punto di vista geometrico, il coefficiente angolare della retta tangente la curva funzionale nel punto di interesse "c".
In diapositiva animata si mostra che la derivata prima della funzione f  nel punto "c" è il numero reale risultato del limite del rapporto incrementale.
Al limite per "h" tendente a zero del rapporto incrementale △y/△x   la retta secante la curva  coincide con la tangente.
La retta tangente avrà equazione t(x)= f(c) - f'(c) (x-c), dove f'(c) è la derivata prima della funzione f nel punto "c".