MOTO ARMONICO

MOTO ARMONICO
Dal punto di vista cinematico, il moto armonico é il moto della proiezione di un punto che si muove di moto circolare uniforme. In diapositiva il punto P si muove lungo una traiettoria circolare di moto circolare uniforme. Il punto Q è la proiezione, lungo x, del punto P. Il punto Q è caratterizzato da un moto armonico.

DINAMICA DI UN CORPO CHE SI MUOVE DI MOTO ARMONICO: APPLICAZIONI OSCILLATORE ARMONICO, PENDOLO SEMPLICE

L' equazione differenziale caratteristica del moto armonico é:

Equazione differenziale del moto armonico.

La soluzione generale della suddetta equazione é:

Si tratta dell' equazione che definisce il moto armonico. 

L' equazione é così caratterizzata: 

Si tratta di un moto periodico caratterizzato da un periodo T:

OSCILLATORE ARMONICO

Il moto armonico  è il moto che caratterizza la dinamica di oscillatori armonici: 

Sistema costituito da un corpo di massa m, collegato a una molla.

L’oscillatore armonico é il sistema fisico che si ottiene collegando a una molla ideale (che segue la legge di Hooke ed é di massa trascurabile) un punto materiale di massa m.

Si supponga che, a un determinato istante t, la massa si trovi nel punto di coordinata x(t). L'obiettivo é conoscere l’equazione del moto soddisfatta da x(t).

All’istante t, la forza che si esercita sulla massa é data da: 

f = −kx(t).

Si applichi alla massa la legge di Newton: 

otteniamo mx¨(t) = −kx(t), ove ¨x é l' accelerazione istantanea della massa.

Si ha : 

x¨(t) = −ω0^(2)*x(t), ove la quantità  ω0^(2) =k/m é definita frequenza angolare o pulsazione dell'oscillatore armonico.

L' equazione x¨(t) = −ω0^(2)*x(t) rappresenta l'equazione di un moto armonico ed è, quindi, la soluzione cercata.

PENDOLO SEMPLICE

Il pendolo semplice é un sistema fisico costituito da un filo inestendibile e da una massa puntiforme fissa alla sua estremità e soggetta alla forza peso mg.

La dinamica del pendolo semplice é caratterizzata da un moto armonico.

Pendolo semplice

In diapositiva é riassunta la dimostrazione che ci permette di dimostrare l'equazione che regola la dinamica di un pendolo semplice.

EFFETTI RISONANZA

Un fenomeno di risonanza provoca, in genere, un aumento significativo dell'ampiezza delle oscillazioni che corrisponde ad un notevole accumulo di energia all'interno del sistema sollecitato.

 La pulsazione che genera un'ampiezza massima è: ω= √ω(0)^(2)- ૪^(2)/2

 dove ω è la pulsazione propria del sistema e ४ è il coefficiente di smorzamento.

RISONANZA

Si consideri un' equazione lineare ordinaria del secondo ordine: 

${\displaystyle y''+a(x)\cdot y'+b(x)\cdot y=f(x)}$

dove a(x) e b(x) sono funzioni continue in un intervallo reale.

Sia f(x) = P(x)e^(αx )cos(βx)

(oppure, f(x) = P(x)e^(αx)sin(βx)), dove P(x) `e un polinomio e α, β ∈ R. 

Sia p(λ)=λ ^(2) + a λ +b=0
 l' equazione caratteristica.

Se λ = α ± iβ `e radice dell’equazione caratteristica, cio`e se p(λ) = 0, si ha: 

y(x) = x^(m) Q(x)e^(αx)(A cos(βx) + B sin(βx)),

dove m é la molteplicità di λ come radice dell’equazione caratteristica.  Q(x) `e un polinomio dello stesso grado di P(x) e A, B sono costanti da determinarsi caso per caso.

La molteplicità m ( indicata con  μ in figura) diversa da zero è sintomo di risonanza. 

Fenomeno della risonanza.

Si ha risonanza quando un sistema oscillante viene sottoposto ad una forza periodica di frequenza uguale alla frequenza propria del sistema.

PROBLEMA DI CAUCHY

Un problema di Cauchy consiste nel risolvere un sistema quindi trovare le soluzioni dell' equazione differenziale ed, infine, imporre che siano/sia  soddisfatte/a  le/la condizioni/e  al contorno di vincolo.
Nella diapositiva vediamo un esempio.

Esempio PROBLEMA Cauchy

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE

Data una equazione differenziale del secondo ordine la si risolve ricorrendo al polinomio ad essa associato. Avremo quindi una equazione di secondo grado da risolvere ed il prospetto che si presenta sarà quello illustrato nella diapositiva. Il delta dell' equazione potrà essere strettamente positivo, nullo oppure strettamente negativo.
Troveremo, quindi, in ciascun dei casi  la/le soluzione/i dell' equazione differenziale.

Prospetto equazioni differenziali del secondo ordine 

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

Equazioni differenziali del primo ordine

Una equazione differenziale del primo ordine quindi lineare la si riconduce ad una forma del tipo evidenziato in diapositiva integrando ambo i membri .
Avremo quindi le/la soluzioni/e dell' equazione differenziale.
Importante sottolineare che nella diapositiva si parla al plurale perché al variare della costante "c" avremo TUTTE le soluzioni dell' equazione differenziale (soluzione generale) .
Avremo, invece, una soluzione particolare imponendo condizioni al contorno di vincolo.
(Problema di Cauchy)

INTRODUZIONE EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Diapositiva introduttiva EQUAZIONI DIFFERENZIALI

ESERCIZIO EQUAZIONI DIFFERENZIALI DI SECONDO GRADO

Semplice esercizio in cui viene  risolta una equazione differenziale di secondo grado omogenea(termine noto nullo). 

Scriviamo, quindi, il polinomio caratteristico associato alla differenziale e risolviamo l'equazione. Il delta è strettamente positivo e, quindi, avremo due valori di lamba reali distinti. 

La soluzione della equazione differenziale sarà quindi della forma evidenziata nel riquadro rosso dove C1 e C2 sono costanti al variare delle quali avremo tutte le soluzioni della equazione differenziale. Si sta, infatti, facendo riferimento ad una soluzione generale. 

Avremo, invece, una soluzione particolare della famiglia di soluzioni imponendo delle condizioni iniziali di vincolo.