RISONANZA

Si consideri un' equazione lineare ordinaria del secondo ordine: 

${\displaystyle y''+a(x)\cdot y'+b(x)\cdot y=f(x)}$

dove a(x) e b(x) sono funzioni continue in un intervallo reale.

Sia f(x) = P(x)e^(αx )cos(βx)

(oppure, f(x) = P(x)e^(αx)sin(βx)), dove P(x) `e un polinomio e α, β ∈ R. 

Sia p(λ)=λ ^(2) + a λ +b=0
 l' equazione caratteristica.

Se λ = α ± iβ `e radice dell’equazione caratteristica, cio`e se p(λ) = 0, si ha: 

y(x) = x^(m) Q(x)e^(αx)(A cos(βx) + B sin(βx)),

dove m é la molteplicità di λ come radice dell’equazione caratteristica.  Q(x) `e un polinomio dello stesso grado di P(x) e A, B sono costanti da determinarsi caso per caso.

La molteplicità m ( indicata con  μ in figura) diversa da zero è sintomo di risonanza. 

Fenomeno della risonanza.

Si ha risonanza quando un sistema oscillante viene sottoposto ad una forza periodica di frequenza uguale alla frequenza propria del sistema.