APPLICAZIONE DELL' INTEGRALE DEFINITO: CALCOLO AREA REGIONE DI PIANO COMPRESA FRA FUNZIONI

CALCOLO AREA

Si procede al calcolo dell' area della regione piana compresa fra curve individuando, dapprima, i punti di intersezione fra le curve da studiare.
In seguito si può procedere al calcolo dell' integrale definito che avrà come Sup
(estremo superiore) ed Inf (estremo inferiore) i punti di intersezione trovati, considerando come funzione da integrare quella regione di piano racchiusa fra le curve.
Si riporta di seguito un esempio:

Esempio applicativo calcolo area.

In figura i punti A e B rappresentano i punti di intersezione fra le curve (parabola-retta)
L' integrale definito avrà come Sup il punto 1 e come Inf il punto -2.
La funzione da integrare sarà: 2x+5 -(3x^(2) +5x-1).
Questo  perché la regione di piano sottesa alla retta è al di sopra di quella della parabola, quindi la funzione da integrare sarà quella che si ottiene sottraendo all' equazione della retta quella della curva.
Il calcolo dell' integrale definito darà come risultato un numero che rappresenta l' area compresa fra le funzioni in esame.

APPROFONDIMENTI_ ROTORE_ DIVERGENZA

CONCETTO DEGLI OPERATORI ROTORE E DIVERGENZA DAL PUNTO DI VISTA ANALITICO E FISICO.

ROTORE

É un operatore che trasforma un campo vettoriale di R3 in un campo vettoriale di R3.                     Infatti, se F : Ω →R3 è un campo vettoriale di classe C1 con Ω ⊆ R3  e F = (f1, f2, f3), allora il rotore di F è il campo vettoriale rotF : Ω → R3 definito da
rotF =( ∂f3/∂y −∂f2/∂z ,∂f1/∂z −∂f3/∂x ,∂f2/∂x −∂f1/∂y .)

INTERPRETAZIONE FISICA DEL CONCETTO DI ROTORE:
Consideriamo un fluido all' interno di un condotto.
Il rotore indicherà dal punto di vista pratico e fisico la tendenza delle linee di flusso a "ruotare" (come in una sorta di vortice) seguendo la direzione del flusso.
Quindi, avere un campo irrotazionale ovvero con rotore nullo significa che le linee di flusso procederanno parallele le une alle altre seguendo la direzione del flusso.


DIVERGENZA

É un operatore che trasforma un campo vettoriale di Rn in una funzione di n≥1variabili.
Infatti, se F : Ω → Rn é un campo vettoriale di classe C1 con Ω ⊆ Rn e
F =(f1, · · · , fn), allora la divergenza di F é la funzione divF : Ω → R definita da
divF =∂f1/∂x1+ · · · +∂fn/∂xn.

INTERPRETAZIONE FISICA DEL CONCETTO DI DIVERGENZA:
Consideriamo un volume V ad esempio di una vasca da bagno in cui scorre del fluido.
In vasca ci sarà la presenza di una sorgente (rubinetto) e di un pozzo (scarico per far sgorgare il fluido).  In prossimità del rubinetto si origineranno linee di flusso che tenderanno ad estinguersi in prossimità dello scarico.
La divergenza del campo ci starà ad indicare la presenza di sorgenti o pozzi.
Se avremo un campo con divergenza positiva significa che si avrà una "densità" di sorgenti maggiore (più sorgenti che pozzi).
Se avremo un campo con divergenza negativa significa che ci saranno più linee di flusso che tendono a estinguersi piuttosto che a generarsi.
È questo un esempio che permette di capire in modo intuitivo quello che è un concetto fisico e matematico che potrebbe sembrare "astratto".

In realtà tutti i concetti matematici attingono dall'esperienza quindi dalla fisica e possono e devono essere ricondotti al campo fenomenologico.

Concetto di rotore e di divergenza.

FIBONACCI E L' UNIVERSO. LA MATEMATICA E LA NATURA

La serie dei numeri di Fibonacci e la sua spirale logaritmica la si riscontra anche in natura, basti guardare la spirale di un uragano oppure di una galassia.

SERIE DI FIBONACCI

La successione di Fibonacci é una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero é la somma dei due precedenti.
Vi è una relazione fra  i numeri di Fibonacci e la cosiddetta "spirale logaritmica". Costruendo una serie di quadrati in cui il lato di ognuno di questi è dato dalla somma delle misure dei lati dei due precedenti, appare evidente che si tratta di una costruzione geometrica della serie di Fibonacci.
Se tracciamo un arco di cerchio avente per raggio il lato del quadrato, la figura che si ottiene è una spirale.

La spirale di Fibonacci.

EVOLVENTE DI CERCHIO.

Generazione per inviluppo di un profilo ad evolvente di cerchio:

Generazione evolvente di cerchio.

Potrebbe sembrare una semplice costruzione geometrica finalizzata a se stessa, in realtà si tratta di una applicazione pratica utilizzata per profili dei fianchi di denti di RUOTE DENTATE per garantire la costanza del rapporto di trasmissione.

Profilo ruote dentate.

EFFETTI RISONANZA

Un fenomeno di risonanza provoca, in genere, un aumento significativo dell'ampiezza delle oscillazioni che corrisponde ad un notevole accumulo di energia all'interno del sistema sollecitato.

 La pulsazione che genera un'ampiezza massima è: ω= √ω(0)^(2)- ૪^(2)/2

 dove ω è la pulsazione propria del sistema e ४ è il coefficiente di smorzamento.

RISONANZA

Si consideri un' equazione lineare ordinaria del secondo ordine: 

${\displaystyle y''+a(x)\cdot y'+b(x)\cdot y=f(x)}$

dove a(x) e b(x) sono funzioni continue in un intervallo reale.

Sia f(x) = P(x)e^(αx )cos(βx)

(oppure, f(x) = P(x)e^(αx)sin(βx)), dove P(x) `e un polinomio e α, β ∈ R. 

Sia p(λ)=λ ^(2) + a λ +b=0
 l' equazione caratteristica.

Se λ = α ± iβ `e radice dell’equazione caratteristica, cio`e se p(λ) = 0, si ha: 

y(x) = x^(m) Q(x)e^(αx)(A cos(βx) + B sin(βx)),

dove m é la molteplicità di λ come radice dell’equazione caratteristica.  Q(x) `e un polinomio dello stesso grado di P(x) e A, B sono costanti da determinarsi caso per caso.

La molteplicità m ( indicata con  μ in figura) diversa da zero è sintomo di risonanza. 

Fenomeno della risonanza.

Si ha risonanza quando un sistema oscillante viene sottoposto ad una forza periodica di frequenza uguale alla frequenza propria del sistema.

LEGGE DI STEVINO- VASI COMUNICANTI

Legge di Stevino

La legge di Stevino lega la differenza di pressione, registrata fra due superfici orizzontali, alla differenza di profondità, all’accelerazione di gravità e alla densità del fluido.

Grazie alla legge di Stevino si può spiegare il fenomeno dei vasi comunicanti. Questa legge sperimentale afferma che due recipienti tra loro comunicanti, riempiti con uno stesso fluido (ideale) e in presenza di gravità, vengono riempiti ad un medesimo livello, indipendentemente dalla loro forma.

REGIMI DI MOTO.

Regimi di moto

Le traiettorie ordinate sono quelle di regime laminare.

Gradualmente, in diapositiva, si evolve in moto di transizione e subito dopo turbolento.

In regime turbolento le forze di tipo viscoso sono contrastate da quelle dovute agli attriti, alle  inerzie. Il moto risulta caotico. 

Per individuare il regime di moto, calcoliamo il valore  del numero di Reynolds: 

dove: ρ è la massa volumica (kg/m3) , <v> è la velocità macroscopica (m/s), 

d è una lunghezza caratteristica del fenomeno considerato,

μ è la viscosità dinamica (Pa·s o N·s/m2 o kg/(m·s)),  è la viscosità cinematica (m^2/s).

Se il valore del numero di Reynolds è maggiore di 4000 il moto è turbolento, se inferiore a 2000 si tratterà di moto laminare.

APPLICAZIONE: ROBOTICA

L' intelligenza artificiale e la sua interazione con il sistema esterno sfrutta elementi basati su un analisi scientifica.
La percezione tratta dal sistema ambiente viene percepita  dal robot tramite sensori.
Il robot elabora, quindi, il segnale trasformandolo in azione.

CAMPI DI APPLICAZIONE DELLA MATEMATICA.

I molteplici aspetti e campi di applicazione scientifici che si sviluppano partendo da un concetto matematico.