INTEGRALE DI RIEMANN. Calcolo di aree di superfici piane.

Se [a, b] é un intervallo chiuso e limitato di R, chiamiamo partizione P di [a, b] un insieme di (n + 1) punti che suddividono [a, b] in n sottointervalli; quindi
x0 = a<x1 < x2 < ... < xn = b .
Se f `e limitata in [a, b], lo é anche in ogni sottointervallo [xi−1, xi],con i = 1, 2, ..., n; posto:

consideriamo le quantità:

dette rispettivamente somma inferiore e somma superiore di f relative alla partizione P.
La partizione P ha ampiezza ౮.
Si può, quindi, definire l' integrale di Riemann come il limite della somma di Riemann di f su P per ౮ che tende a zero:

 La funzione f si dice Riemann integrabile se e solo se quest' ultimo limite esiste. Avremo, quindi, la seguente uguaglianza:

PROPRIETÀ INTEGRALE:

Valgono le seguenti proprietà:

Proprietà integrali.

La prima proprietà é detta di Linearitá e ci garantisce l' additività, la seconda proprietà garantisce l' omogeneità.