INTEGRALE DI RIEMANN. Calcolo di aree di superfici piane.

Se [a, b] é un intervallo chiuso e limitato di R, chiamiamo partizione P di [a, b] un insieme di (n + 1) punti che suddividono [a, b] in n sottointervalli; quindi
x0 = a<x1 < x2 < ... < xn = b .
Se f `e limitata in [a, b], lo é anche in ogni sottointervallo [xi−1, xi],con i = 1, 2, ..., n; posto:

consideriamo le quantità:

dette rispettivamente somma inferiore e somma superiore di f relative alla partizione P.
La partizione P ha ampiezza ౮.
Si può, quindi, definire l' integrale di Riemann come il limite della somma di Riemann di f su P per ౮ che tende a zero:

 La funzione f si dice Riemann integrabile se e solo se quest' ultimo limite esiste. Avremo, quindi, la seguente uguaglianza:

PROPRIETÀ INTEGRALE:

Valgono le seguenti proprietà:

Proprietà integrali.

La prima proprietà é detta di Linearitá e ci garantisce l' additività, la seconda proprietà garantisce l' omogeneità.

APPLICAZIONE DELL' INTEGRALE DEFINITO: CALCOLO AREA REGIONE DI PIANO COMPRESA FRA FUNZIONI

CALCOLO AREA

Si procede al calcolo dell' area della regione piana compresa fra curve individuando, dapprima, i punti di intersezione fra le curve da studiare.
In seguito si può procedere al calcolo dell' integrale definito che avrà come Sup
(estremo superiore) ed Inf (estremo inferiore) i punti di intersezione trovati, considerando come funzione da integrare quella regione di piano racchiusa fra le curve.
Si riporta di seguito un esempio:

Esempio applicativo calcolo area.

In figura i punti A e B rappresentano i punti di intersezione fra le curve (parabola-retta)
L' integrale definito avrà come Sup il punto 1 e come Inf il punto -2.
La funzione da integrare sarà: 2x+5 -(3x^(2) +5x-1).
Questo  perché la regione di piano sottesa alla retta è al di sopra di quella della parabola, quindi la funzione da integrare sarà quella che si ottiene sottraendo all' equazione della retta quella della curva.
Il calcolo dell' integrale definito darà come risultato un numero che rappresenta l' area compresa fra le funzioni in esame.

SIGNIFICATO GEOMETRICO INTEGRALE

Significato geometrico integrale.

Significato geometrico integrale:
L' integrale della funzione f(x) rappresenta l'area sottesa alla curva.
Trattandosi di un integrale definito ci limiteremo all' area sottesa alla curva nell' intervallo di diapositiva [b;c].
Diversamente, se ci si riferisce ad un integrale indefinito, faremo riferimento all' intera area che sottende la curva in esame.