FUNZIONI IPERBOLICHE.

-Funzione seno iperbolico:

-Funzione coseno iperbolico:

                    

-Funzione tangente iperbolica

                                                 

FUNZIONI SENO IPERBOLICO, COSENO IPERBOLICO
(APPROCCIO GRAFICO)

FUNZIONI E LORO INVERSE.

FUNZIONE INVERSA E COME CALCOLARLA ANALITICAMENTE:
Affinché la funzione inversa esista é necessario che la funzione iniziale sia invertibile. La biettività é condizione necessaria e sufficiente per l' invertibilità.
Una volta verificata la biettività, si procede con il determinare la variabile x in funzione della y partendo da una espressione del tipo y=f(x). 
Si arriverà ad una espressione del tipo x= f^(-1)(x), ove f^(-1)(x) rappresenta la funzione inversa.

FUNZIONE INVERSA APPROCCIO GRAFICO:
Dal punto di vista grafico, tracciato il grafico della nostra funzione f( x) si procede a disegnare l' inversa effettuando una simmetria di f(x) rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante y=x.

ESEMPI DI FUNZIONI INVERTIBILI:
La funzione esponenziale y=e^(x) é invertibile, la sua inversa é la funzione logaritmo y=log(x), come emerge dalle seguenti rappresentazioni grafiche:

Funzione esponenziale

                                               

Funzione logaritmo.

COMPOSIZIONE FUNZIONI.

FUNZIONE COMPOSTA 

Diapositiva esplicativa composizione funzionale.

GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI.

Grafici di funzioni elementari.

STUDIO DI FUNZIONE

Utilizzando le proprietà che legano una funzione alla sua derivata possiamo studiare:

DAL GRAFICO DI UNA FUNZIONE, QUELLO DELLA SUA DERIVATA

DAL GRAFICO DI UNA FUNZIONE, QUELLO DELLA SUA PRIMITIVA

Data una funzione F(x) con derivata  f(x) (F'(x)= f(x)), F(x) dicesi primitiva di f(x).

Dal grafico della F(x) deduciamo quello di f(x) utilizzando le proprietà del calcolo differenziale. 

Crescenza, decrescenza e, quindi, massimi e minimi con lo studio della derivata prima.

Convessità, concavità e, quindi, flessi con lo studio della derivata seconda.

DAL GRAFICO DI UNA FUNZIONE A QUELLO DELLA SUA DERIVATA, DAL GRAFICO DI UNA FUNZIONE A QUELLO DELLA SUA PRIMITIVA

FUNZIONI PERIODICHE.

Sia f :D →R una funzione, D ⊆ R e sia T un numero reale positivo.
Si dice che f è periodica di periodo T se, per ogni x ∈ D e per ogni k ∈ Z , si ha
f(x +kT) = f (x)

Funzione periodica.

Le funzione periodiche sono del tipo : Asen(wx+f ).
Introduciamo della terminologia:

A è l'ampiezza;

w è la pulsazione;

2  /w è il periodo;

il reciproco del periodo è la frequenza;

f è lo sfasamento.

Le vibrazioni (onde) indipendentemente dalla loro origine (sonora, luminosa, meccanica) sono la sovrapposizione di onde sinusoidali pure descritte da una equazione di moto armonico.
Una legge sinusoidale ha un'equazione del tipo:

x (t) = A cos (φ) (oppure x (t) = A sen (φ)) ove φ è l' angolo di fase.

APPROCCIO GEOMETRICO DERIVATA IN UN PUNTO.

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DERIVATA IN UN PUNTO:
la derivata in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva, che si vuole studiare, nel punto di interesse.

Andamento derivata in un punto lungo una curva funzionale.

In animazione vi è la rappresentazione della variazione del coefficiente angolare (pendenza) della retta tangente, ovvero della derivata, in un punto lungo la percorrenza della funzione in esame:
f(x)=x sin (x^(2)) + 1

ASINTOTO OBLIQUO

Asintoto OBLIQUO:

Funzione f(x) che presenta asintoto obliquo

La funzione f(x)ha un asintoto obliquo, i coefficienti 
$m$ e 
$q$ si trovano calcolando i due limiti:

m=limx→∞f(x)xq=limx→∞f(x)−mx

limx→∞f(x)x→∞(x)−mx

ASINTOTO ORIZZONTALE

ASINTOTO ORIZZONTALE:

La funzione in diapositiva presenta un asintoto ORIZZONTALE bilatero. 

Sono, infatti, soddisfatti i limiti esplicitati.

ASINTOTO VERTICALE

ASINTOTO VERTICALE:

 La retta x = c è asintoto verticale per la funzione y = f (x) se: 

Se entrambi i limiti sono soddisfatti, come nel caso della diapositiva, l' asintoto VERTICALE è bilatero.
Se solo il limite 1. è soddisfatto allora la funzione presenterà un asintoto VERTICALE destro.
Se solo il limite 2. è soddisfatto allora la funzione presenterà un asintoto VERTICALE sinistro.

FUNZIONI: INIETTIVITÀ, SURIETTIVITÀ, BIETTIVITÀ.

INIETTIVITÀ:

Una funzione è iniettiva se prese due variabili diverse fra loro, appartenenti al dominio della funzione, le rispettive immagini risultano diverse.

Analiticamente scriveremo:

                                        

${\displaystyle \forall x,y\in X,\;\;x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y).}$                                           

dove X é l' insieme dominio.

SURIETTIVITÀ:

Funzione Suriettiva.

Una funzione f: A-->B è detta suriettiva se per ogni y appartenente a  B, esiste una  x appartenente ad A tale che  f(x) = y



BIETTIVITÀ: 


Una funzione è biettiva o bigettiva se è iniettiva e suriettiva.

Funzione Biettiva.

Condizione necessaria e sufficiente per l' invertibilità funzionale é l' iniettività e suriettività.

                

FLESSI TIPOLOGIE

Punti di Flesso

In diapositiva vi è la rappresentazione delle tipologie di flesso.

PUNTI CRITICI

Punti critici.

In diapositiva vi è la rappresentazione di punti critici.
Ciò che caratterizza un punto critico é la derivata prima nulla.
Conoscenza di fondamentale importanza per lo studio funzionale.

PUNTI DI NON DERIVABILITÀ.

Punti di non derivabilità

Una funzione presenta punti di non derivabilità se i limiti destro e sinistro delle derivate prime nel punto di interesse sono diversi fra loro.
In particolare avremo un punto angoloso se i limiti destro e sinistro delle derivate prime nel punto sono diversi e finiti entrambi oppure diversi uno finito e l' altro infinito.
Avremo, invece, un punto di non derivabilita di tipo cuspide se i limiti destro e sinistro delle derivate prime nel punto sono infiniti di segno discorde.
Avremo un punto di non derivabilità di tipo  flesso a tangente verticale se i limiti destro e sinistro delle derivate prime nel punto di interesse sono infiniti di segno concorde.

MASSIMI E MINIMI LOCALI E GLOBALI.

Massimi e minimi locali e globali.

In diapositiva vi è la rappresentazione di massimi e minimi locali e globali.
Si tratta di punti critici (derivata prima nulla).
Questi ultimi possono essere locali o globali.
Sono locali se riferiti ad un intervallo del dominio funzionale, si definiscono, invece, globali se rappresentano i punti critici  (massimi o minimi) sull' intero dominio della funzione in esame.