LEGGE DI HOOKE- MECCANICA DEI MATERIALI

Legge di Hooke

La legge di Hooke é una formulazione rappresentativa del comportamento dei materiali elastici.
Si tratta di una relazione di diretta proporzionalità fra l' allungamento e la forza applicata al corpo. La costante k varia da materiale a materiale ed é definita costante elastica.

Proporzionalità diretta fra allungamento e forza applicata.

MOTO ARMONICO

MOTO ARMONICO
Dal punto di vista cinematico, il moto armonico é il moto della proiezione di un punto che si muove di moto circolare uniforme. In diapositiva il punto P si muove lungo una traiettoria circolare di moto circolare uniforme. Il punto Q è la proiezione, lungo x, del punto P. Il punto Q è caratterizzato da un moto armonico.

DINAMICA DI UN CORPO CHE SI MUOVE DI MOTO ARMONICO: APPLICAZIONI OSCILLATORE ARMONICO, PENDOLO SEMPLICE

L' equazione differenziale caratteristica del moto armonico é:

Equazione differenziale del moto armonico.

La soluzione generale della suddetta equazione é:

Si tratta dell' equazione che definisce il moto armonico. 

L' equazione é così caratterizzata: 

Si tratta di un moto periodico caratterizzato da un periodo T:

OSCILLATORE ARMONICO

Il moto armonico  è il moto che caratterizza la dinamica di oscillatori armonici: 

Sistema costituito da un corpo di massa m, collegato a una molla.

L’oscillatore armonico é il sistema fisico che si ottiene collegando a una molla ideale (che segue la legge di Hooke ed é di massa trascurabile) un punto materiale di massa m.

Si supponga che, a un determinato istante t, la massa si trovi nel punto di coordinata x(t). L'obiettivo é conoscere l’equazione del moto soddisfatta da x(t).

All’istante t, la forza che si esercita sulla massa é data da: 

f = −kx(t).

Si applichi alla massa la legge di Newton: 

otteniamo mx¨(t) = −kx(t), ove ¨x é l' accelerazione istantanea della massa.

Si ha : 

x¨(t) = −ω0^(2)*x(t), ove la quantità  ω0^(2) =k/m é definita frequenza angolare o pulsazione dell'oscillatore armonico.

L' equazione x¨(t) = −ω0^(2)*x(t) rappresenta l'equazione di un moto armonico ed è, quindi, la soluzione cercata.

PENDOLO SEMPLICE

Il pendolo semplice é un sistema fisico costituito da un filo inestendibile e da una massa puntiforme fissa alla sua estremità e soggetta alla forza peso mg.

La dinamica del pendolo semplice é caratterizzata da un moto armonico.

Pendolo semplice

In diapositiva é riassunta la dimostrazione che ci permette di dimostrare l'equazione che regola la dinamica di un pendolo semplice.

COMPOSIZIONE FUNZIONI.

FUNZIONE COMPOSTA 

Diapositiva esplicativa composizione funzionale.

INTRODUZIONE INTEGRALI IMPROPRI.

L' integrale improprio, per definizione, è il limite di un integrale definito su intervalli limitati oppure illimitati.
Gli integrali impropri si classificano in:
integrali impropri di prima specie:

integrali impropri di seconda specie:

INSIEMI NUMERICI.

INSIEMI NUMERICI 

I numeri naturali N 

N= {0,1,2,3,4,5,6,...}

I numeri interi relativi Z

Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

I numeri razionali Q

Q={...,-2...,-1,...,-1/3,...,0,...,1/2,...,3/2,...,2,...,3,...}

I numeri reali R (unione tra l' insieme dei razionali e quello degli  irrazionali)

R=Q U I

I numeri complessi C (rimando al post "numeri complessi")

Riassumendo in un diagramma di Eulero-Venn:

INSIEMI NUMERICI

APPROSSIMAZIONE DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE : LA PARABOLA OSCULATRICE.

Sia f :]a, b[→ R una funzione derivabile in ]a, b[ con derivata continua in un punto
x0 ∈]a, b[.
Sotto  queste ipotesi la retta tangente al grafico di f, nel punto (x0,f(x0)),  ha equazione:
y = f(x0) + f '(x0)(x −x0).
Tra tutte le rette che passano per il punto (x0, f(x0)), la retta tangente é quella  che “meglio approssima” il grafico di f “vicino”al punto x0.
Ci chiediamo allora se esista, e quale sia, la parabola che meglio approssima il grafico di f tra tutte le parabole che passano per (x0, f(x0)).
Fra le infinite parole che passano per (x0, f(x0)), quella che meglio approssima il grafico di f è la cosiddetta parabola osculatrice.
Quest' ultima ha equazione:
y = f(x0) + f '(x0)(x − x0) + (f '(x0)/2)(x − x0)^(2)

Una animazione per comprendere cos' è la parabola osculatrice.

L' ORIGINE DEL CONCETTO DI LIMITE.

Una delle prime teorizzazioni del concetto di limite, successivamente sviluppato come lo conosciamo oggi. 

Il concetto di limite fu sviluppato inizialmente per approcciarsi al calcolo di aree e al calcolo infinitesimale.

Metodo di esaustione.

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE.

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

La funzione F viene definita FUNZIONE INTEGRALE di f su [a;b]

ENUNCIATO TEOREMA:

DAL TEOREMA DI PITAGORA AL TEOREMA DEL COSENO (richiami di Matematica di base)

Dal Teorema di Pitagora al Teorema del coseno.

Teorema di Pitagora: notare l' angolo in A (angolo che definisco ४ ) di 90 gradi.

Cosa accade al variare di ૪?...---->Teorema del coseno

LIMITI

Limite all' infinito per x che tende ad un valore finito.

Possiamo affermare che una funzione f(x) ha, per x che tende ad un valore finito, un limite infinito se la seguente definizione risulta verificata:

Limite al finito per x che tende ad un valore finito.

Possiamo affermare che una funzione f(x) ha, per x che tende ad un valore finito, un limite finito se la seguente definizione risulta verificata:

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE.

Funzioni trigonometriche: seno e coseno.

Funzione trigonometrica tangente.