APPROFONDIMENTI_ ROTORE_ DIVERGENZA

CONCETTO DEGLI OPERATORI ROTORE E DIVERGENZA DAL PUNTO DI VISTA ANALITICO E FISICO.

ROTORE

É un operatore che trasforma un campo vettoriale di R3 in un campo vettoriale di R3.                     Infatti, se F : Ω →R3 è un campo vettoriale di classe C1 con Ω ⊆ R3  e F = (f1, f2, f3), allora il rotore di F è il campo vettoriale rotF : Ω → R3 definito da
rotF =( ∂f3/∂y −∂f2/∂z ,∂f1/∂z −∂f3/∂x ,∂f2/∂x −∂f1/∂y .)

INTERPRETAZIONE FISICA DEL CONCETTO DI ROTORE:
Consideriamo un fluido all' interno di un condotto.
Il rotore indicherà dal punto di vista pratico e fisico la tendenza delle linee di flusso a "ruotare" (come in una sorta di vortice) seguendo la direzione del flusso.
Quindi, avere un campo irrotazionale ovvero con rotore nullo significa che le linee di flusso procederanno parallele le une alle altre seguendo la direzione del flusso.


DIVERGENZA

É un operatore che trasforma un campo vettoriale di Rn in una funzione di n≥1variabili.
Infatti, se F : Ω → Rn é un campo vettoriale di classe C1 con Ω ⊆ Rn e
F =(f1, · · · , fn), allora la divergenza di F é la funzione divF : Ω → R definita da
divF =∂f1/∂x1+ · · · +∂fn/∂xn.

INTERPRETAZIONE FISICA DEL CONCETTO DI DIVERGENZA:
Consideriamo un volume V ad esempio di una vasca da bagno in cui scorre del fluido.
In vasca ci sarà la presenza di una sorgente (rubinetto) e di un pozzo (scarico per far sgorgare il fluido).  In prossimità del rubinetto si origineranno linee di flusso che tenderanno ad estinguersi in prossimità dello scarico.
La divergenza del campo ci starà ad indicare la presenza di sorgenti o pozzi.
Se avremo un campo con divergenza positiva significa che si avrà una "densità" di sorgenti maggiore (più sorgenti che pozzi).
Se avremo un campo con divergenza negativa significa che ci saranno più linee di flusso che tendono a estinguersi piuttosto che a generarsi.
È questo un esempio che permette di capire in modo intuitivo quello che è un concetto fisico e matematico che potrebbe sembrare "astratto".

In realtà tutti i concetti matematici attingono dall'esperienza quindi dalla fisica e possono e devono essere ricondotti al campo fenomenologico.

Concetto di rotore e di divergenza.

NUMERI COMPLESSI

I numeri complessi sono costituiti da una parte reale ed una immaginaria. 
z=x+iy é un numero complesso scritto in forma algebrica, ove "x" rappresenta la parte reale, "y" quella immaginaria ed "i" assume il nome di unità immaginaria per definizione. 
Il numero z=x+iy é rappresentato geometricamente nel piano di Argand-Gauss. 

Rappresentazione del numero z=x+iy nel piano di Argand-Gauss.

In figura vi é anche la rappresentazione del cosiddetto complesso coniugato. Nel piano complesso è ottenuto da z per simmetria rispetto all' asse reale.

Un numero complesso può essere, inoltre, espresso in forma trigonometrica ed esponenziale.

è la rappresentazione del complesso in forma trigonometrica.

Da quest' ultima formulazione segue la formula di De Moivre:

ove n sono le radici n-esime del numero complesso.   

 In forma esponenziale, invece, il complesso sarà così espresso: 

${\displaystyle z=re^{i\theta }}$

ove r rappresenta il modulo del complesso e θ  l' argomento  indicato in figura con φ.

Numero complesso z=x+iy

 Si ricordano le seguenti relazioni di modulo "r"  del numero complesso e di angolo φ che rappresenta l' argomento del complesso 

 per 

 per  

FIBONACCI E L' UNIVERSO. LA MATEMATICA E LA NATURA

La serie dei numeri di Fibonacci e la sua spirale logaritmica la si riscontra anche in natura, basti guardare la spirale di un uragano oppure di una galassia.

SERIE DI FIBONACCI

La successione di Fibonacci é una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero é la somma dei due precedenti.
Vi è una relazione fra  i numeri di Fibonacci e la cosiddetta "spirale logaritmica". Costruendo una serie di quadrati in cui il lato di ognuno di questi è dato dalla somma delle misure dei lati dei due precedenti, appare evidente che si tratta di una costruzione geometrica della serie di Fibonacci.
Se tracciamo un arco di cerchio avente per raggio il lato del quadrato, la figura che si ottiene è una spirale.

La spirale di Fibonacci.

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI CONVERGENTI
DEFINIZIONE:


$$\underset{n\to +\infty }{lim}{a}_n=L⟺\forall ϵ>0,\exists N_{ϵ}\in N\text{tale che}|a_n-L|<ϵ,\forall n>N_{ϵ}.$$

SUCCESSIONI DIVERGENTI
DEFINIZIONE:

$$\underset{n\to +\infty }{lim}{a}_n=+\infty ⟺\forall M>0,\exists N_M\in N\text{tale che}{a}_n>M,\forall n>N_M.$$