IL LINGUAGGIO DI PROGRAMMAZIONE DI AUGUSTA ADA BYRON.

Augusta Ada Byron(1815-1852) é stata una matematica inglese, ideatrice del primo algoritmo inteso per essere elaborato da una macchina.
Fu la prima programmatrice di computer al mondo.
Gli studi di Ada Byron sono importanti per la storia del computer, la scienziata e inventrice aveva, infatti, previsto la capacità dei computer di andare al di là del calcolo numerico al tempo in cui ci si focalizzava solo su questa capacità.
Le future possibilità delle macchine analitiche furono descritte dalla scienziata nel suo articolo, pubblicato nel 1843, in cui descriveva la macchina analitica come uno strumento programmabile e con lungimiranza cominciava a inizializzare e prefigurare il concetto di intelligenza artificiale.
La scienziata ed inventrice afferma che la macchina analitica sarebbe stata cruciale per il futuro della scienza.

Augusta Ada Byron, soprannominata l'incantatrice dei Numeri.

INTEGRALE DI RIEMANN. Calcolo di aree di superfici piane.

Se [a, b] é un intervallo chiuso e limitato di R, chiamiamo partizione P di [a, b] un insieme di (n + 1) punti che suddividono [a, b] in n sottointervalli; quindi
x0 = a<x1 < x2 < ... < xn = b .
Se f `e limitata in [a, b], lo é anche in ogni sottointervallo [xi−1, xi],con i = 1, 2, ..., n; posto:

consideriamo le quantità:

dette rispettivamente somma inferiore e somma superiore di f relative alla partizione P.
La partizione P ha ampiezza ౮.
Si può, quindi, definire l' integrale di Riemann come il limite della somma di Riemann di f su P per ౮ che tende a zero:

 La funzione f si dice Riemann integrabile se e solo se quest' ultimo limite esiste. Avremo, quindi, la seguente uguaglianza:

PROPRIETÀ INTEGRALE:

Valgono le seguenti proprietà:

Proprietà integrali.

La prima proprietà é detta di Linearitá e ci garantisce l' additività, la seconda proprietà garantisce l' omogeneità.

TEOREMA DI ROLLE.

TEOREMA DI ROLLE:
Sia f(x) una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a;b], derivabile nei punti interni dell' intervallo ]a;b[ e che assume valori uguali agli estremi dell' intervallo, ovvero f(a)= f(b), allora esiste almeno un punto c interno all' intervallo ]a;b[ in cui la derivata prima si annulla, cioé f'(c)=0.

Interpretazione geometrica Teorema di Rolle.

INVERTIBILITÀ FUNZIONALE ( ESEMPI). TEOREMA DI CONTINUITÀ DELLA FUNZIONE INVERSA.

Esempi di funzioni invertibili sul loro dominio: 

Potenza di x: La funzione y=(x)^3 é iniettiva e suriettiva quindi invertibile.
Per ricavare l'inversa, decido di sfruttare il grafico, applico, quindi, il metodo grafico procedendo a tracciare la birettrice del primo e terzo quadrante e a ricavare il simmetrico del grafico rispetto a tale retta.

Inversa Potenza di x: 

La funzione y= (x)^3 ha per inversa y= (x)^(1/3)

Continuità e invertibilità:

TEOREMA DI CONTINUITÀ DELLA FUNZIONE INVERSA:

Sia f:[a;b]-->R una funzione continua ed iniettiva. Allora l' inversa f^(-1) : f([a;b])-->R é continua

DEEP LEARNING

Il Deep Learning é un particolare approccio al training delle reti neurali.

Why Deep Learning?

Le reti neurali sono capaci di prendere delle decisioni in completa autonomia, basandosi sugli input del sistema, che comprendono anche le variabili d'errore. 
Grazie a quest' ultime, i sistemi basati su reti neurali riescono a migliorarsi col passare delle iterazioni. Non é previsto alcun intervento umano.

Deep Learning Approach

Il Deep Learning é il prossimo futuro:

Deep Learning.

ROBOTICA ED ETICA.

Puó la tecnologia essere utilizzata eticamente?
É questa la domanda che ha portato a profetizzare quelle che sono state definite le tre leggi della ROBOTICA. Quest' ultime non trovano, per il momento, alcuna applicazione perché i robot non sono ancora dotati di coscienza.
Isaac Asimov, il teorizzatore delle tre leggi, di fatti fu mosso dal presupposto che sarebbero esistiti robot positronici in grado di seguire comandi dagli esseri umani e con la sicurezza che queste macchine non potessero nuocere ad alcun essere umano.
Asimov, romanziere del Novecento, inizió a scrivere di robot nel 1939, fu il primo ad utilizzare la parola robotica in un racconto sulla rivista americana Astounding Science Fiction.
I robot da prima teorizzazione sono, quindi, automi, meccanismi costruiti per simulare un essere umano o un animale.
Le leggi della ROBOETICA, L' ETICA DELLA ROBOTICA, vogliono esplicitare che i robot non sono una minaccia:

Prima Legge: “Un robot non può recar danno a un essere umano né può permettere che a causa del proprio mancato intervento un essere umano riceva danno”.

Seconda legge: “Un robot deve obbedire agli ordini impartiti dagli esseri umani purché tali ordini non contravvengano alla prima legge”.

Terza legge: “Un robot deve proteggere la propria esistenza purché questo non contrasti con la prima e la seconda legge”.

Le leggi suddette anticipano non solo il fatto che i robot umanoidi avranno coscienza ma sono anche preludio a dubbi sorti nell' interazione essere umano-macchina in tema di DEEP LEARNING e collaborazione lavorativa essere umano-macchina.

Intelligenza artificiale

Segue in video l'esplicitazione delle tre leggi, tratto dal film l' uomo bicentenario:

FUNZIONI IPERBOLICHE.

-Funzione seno iperbolico:

-Funzione coseno iperbolico:

                    

-Funzione tangente iperbolica

                                                 

FUNZIONI SENO IPERBOLICO, COSENO IPERBOLICO
(APPROCCIO GRAFICO)

FUNZIONI E LORO INVERSE.

FUNZIONE INVERSA E COME CALCOLARLA ANALITICAMENTE:
Affinché la funzione inversa esista é necessario che la funzione iniziale sia invertibile. La biettività é condizione necessaria e sufficiente per l' invertibilità.
Una volta verificata la biettività, si procede con il determinare la variabile x in funzione della y partendo da una espressione del tipo y=f(x). 
Si arriverà ad una espressione del tipo x= f^(-1)(x), ove f^(-1)(x) rappresenta la funzione inversa.

FUNZIONE INVERSA APPROCCIO GRAFICO:
Dal punto di vista grafico, tracciato il grafico della nostra funzione f( x) si procede a disegnare l' inversa effettuando una simmetria di f(x) rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante y=x.

ESEMPI DI FUNZIONI INVERTIBILI:
La funzione esponenziale y=e^(x) é invertibile, la sua inversa é la funzione logaritmo y=log(x), come emerge dalle seguenti rappresentazioni grafiche:

Funzione esponenziale

                                               

Funzione logaritmo.

LIMITI E PERIODICITÀ.

Funzione sin(x^2)

Osservazioni:

Sia f una funzione periodica seguirà che la funzione f é non regolare per |x| -->+∞

Per regolarità si intende l' esistenza del limite finito o infinito.

f é periodica-->f é non regolare per |x| -->+∞.

La seguente implicazione non é, peró, invertibile. 

Un esempio di quando detto é dato dalla funzione in gif , sin(x^2).

Si tratta di una funzione non periodica e non regolare ovvero non ammette limite per |x| -->+∞.

Quindi si afferma che la non regolarità per |x|-->+∞ é condizione necessaria ma non sufficiente per la periodicità.

COMPORTAMENTO MECCANICO DEI MATERIALI.

Descrizione del diagramma sforzo-deformazione:
Applichiamo un carico ad un solido, quest' ultimo, se non è fragile e superato lo sforzo critico, subirà una deformazione che rimane quando si annulla lo sforzo applicato. Si parla, quindi, di deformazione plastica.
Il diagramma è costituito da un tratto elastico e da uno plastico.
Una volta rimosso il carico, il solido recupera la componente elastica della deformazione. Resterà, però, una parte della deformazione che è permanente.
Nel campo plastico non è più valida la legge di Hooke.
Il punto dove la pendenza della curva cambia rispetto al tratto relativo alla fase elastica è definito carico di snervamento. Convenzionalmente considero il punto ნy del carico di snervamento corrispondente ad una deformazione permanente pari al 0,2%.
Le bande di deformazione che si formano allo snervamento sono dette bande di Lüders.

Curva sforzo-deformazione.

Si è nella fase elastica quando, rimosso il carico, il materiale ritorna alle dimensioni iniziali.

Tutti i materiali, allo stato solido, presentano un campo di deformazioni entro il quale hanno un comportamento elastico lineare descritto dalla legge di Hooke.

          Legge di Hooke: ნ = E ε ove E è il cosiddetto MODULO DI YOUNG.

In tabella seguono i diversi valori del Modulo di Young a seconda del materiale scelto:

MOTO ARMONICO SMORZATO.

Moto armonico smorzato: 
É un moto armonico non ideale perché vi é l' introduzione di forze dissipative, vi é, quindi, la presenza dell' attrito.

Esplicazione del moto armonico smorzato.

Le oscillazioni non proseguono indefinitivamente ma subiscono uno smorzamento appunto.

LEGGE DI HOOKE- MECCANICA DEI MATERIALI

Legge di Hooke

La legge di Hooke é una formulazione rappresentativa del comportamento dei materiali elastici.
Si tratta di una relazione di diretta proporzionalità fra l' allungamento e la forza applicata al corpo. La costante k varia da materiale a materiale ed é definita costante elastica.

Proporzionalità diretta fra allungamento e forza applicata.

MOTO ARMONICO

MOTO ARMONICO
Dal punto di vista cinematico, il moto armonico é il moto della proiezione di un punto che si muove di moto circolare uniforme. In diapositiva il punto P si muove lungo una traiettoria circolare di moto circolare uniforme. Il punto Q è la proiezione, lungo x, del punto P. Il punto Q è caratterizzato da un moto armonico.

DINAMICA DI UN CORPO CHE SI MUOVE DI MOTO ARMONICO: APPLICAZIONI OSCILLATORE ARMONICO, PENDOLO SEMPLICE

L' equazione differenziale caratteristica del moto armonico é:

Equazione differenziale del moto armonico.

La soluzione generale della suddetta equazione é:

Si tratta dell' equazione che definisce il moto armonico. 

L' equazione é così caratterizzata: 

Si tratta di un moto periodico caratterizzato da un periodo T:

OSCILLATORE ARMONICO

Il moto armonico  è il moto che caratterizza la dinamica di oscillatori armonici: 

Sistema costituito da un corpo di massa m, collegato a una molla.

L’oscillatore armonico é il sistema fisico che si ottiene collegando a una molla ideale (che segue la legge di Hooke ed é di massa trascurabile) un punto materiale di massa m.

Si supponga che, a un determinato istante t, la massa si trovi nel punto di coordinata x(t). L'obiettivo é conoscere l’equazione del moto soddisfatta da x(t).

All’istante t, la forza che si esercita sulla massa é data da: 

f = −kx(t).

Si applichi alla massa la legge di Newton: 

otteniamo mx¨(t) = −kx(t), ove ¨x é l' accelerazione istantanea della massa.

Si ha : 

x¨(t) = −ω0^(2)*x(t), ove la quantità  ω0^(2) =k/m é definita frequenza angolare o pulsazione dell'oscillatore armonico.

L' equazione x¨(t) = −ω0^(2)*x(t) rappresenta l'equazione di un moto armonico ed è, quindi, la soluzione cercata.

PENDOLO SEMPLICE

Il pendolo semplice é un sistema fisico costituito da un filo inestendibile e da una massa puntiforme fissa alla sua estremità e soggetta alla forza peso mg.

La dinamica del pendolo semplice é caratterizzata da un moto armonico.

Pendolo semplice

In diapositiva é riassunta la dimostrazione che ci permette di dimostrare l'equazione che regola la dinamica di un pendolo semplice.

COMPOSIZIONE FUNZIONI.

FUNZIONE COMPOSTA 

Diapositiva esplicativa composizione funzionale.

INTRODUZIONE INTEGRALI IMPROPRI.

L' integrale improprio, per definizione, è il limite di un integrale definito su intervalli limitati oppure illimitati.
Gli integrali impropri si classificano in:
integrali impropri di prima specie:

integrali impropri di seconda specie:

INSIEMI NUMERICI.

INSIEMI NUMERICI 

I numeri naturali N 

N= {0,1,2,3,4,5,6,...}

I numeri interi relativi Z

Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

I numeri razionali Q

Q={...,-2...,-1,...,-1/3,...,0,...,1/2,...,3/2,...,2,...,3,...}

I numeri reali R (unione tra l' insieme dei razionali e quello degli  irrazionali)

R=Q U I

I numeri complessi C (rimando al post "numeri complessi")

Riassumendo in un diagramma di Eulero-Venn:

INSIEMI NUMERICI

APPROSSIMAZIONE DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE : LA PARABOLA OSCULATRICE.

Sia f :]a, b[→ R una funzione derivabile in ]a, b[ con derivata continua in un punto
x0 ∈]a, b[.
Sotto  queste ipotesi la retta tangente al grafico di f, nel punto (x0,f(x0)),  ha equazione:
y = f(x0) + f '(x0)(x −x0).
Tra tutte le rette che passano per il punto (x0, f(x0)), la retta tangente é quella  che “meglio approssima” il grafico di f “vicino”al punto x0.
Ci chiediamo allora se esista, e quale sia, la parabola che meglio approssima il grafico di f tra tutte le parabole che passano per (x0, f(x0)).
Fra le infinite parole che passano per (x0, f(x0)), quella che meglio approssima il grafico di f è la cosiddetta parabola osculatrice.
Quest' ultima ha equazione:
y = f(x0) + f '(x0)(x − x0) + (f '(x0)/2)(x − x0)^(2)

Una animazione per comprendere cos' è la parabola osculatrice.

L' ORIGINE DEL CONCETTO DI LIMITE.

Una delle prime teorizzazioni del concetto di limite, successivamente sviluppato come lo conosciamo oggi. 

Il concetto di limite fu sviluppato inizialmente per approcciarsi al calcolo di aree e al calcolo infinitesimale.

Metodo di esaustione.

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE.

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

La funzione F viene definita FUNZIONE INTEGRALE di f su [a;b]

ENUNCIATO TEOREMA:

DAL TEOREMA DI PITAGORA AL TEOREMA DEL COSENO (richiami di Matematica di base)

Dal Teorema di Pitagora al Teorema del coseno.

Teorema di Pitagora: notare l' angolo in A (angolo che definisco ४ ) di 90 gradi.

Cosa accade al variare di ૪?...---->Teorema del coseno