TUTORAGGIO

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APPLICAZIONE DELL' INTEGRALE DEFINITO: CALCOLO AREA REGIONE DI PIANO COMPRESA FRA FUNZIONI

CALCOLO AREA

Si procede al calcolo dell' area della regione piana compresa fra curve individuando, dapprima, i punti di intersezione fra le curve da studiare.
In seguito si può procedere al calcolo dell' integrale definito che avrà come Sup
(estremo superiore) ed Inf (estremo inferiore) i punti di intersezione trovati, considerando come funzione da integrare quella regione di piano racchiusa fra le curve.
Si riporta di seguito un esempio:

Esempio applicativo calcolo area.

In figura i punti A e B rappresentano i punti di intersezione fra le curve (parabola-retta)
L' integrale definito avrà come Sup il punto 1 e come Inf il punto -2.
La funzione da integrare sarà: 2x+5 -(3x^(2) +5x-1).
Questo  perché la regione di piano sottesa alla retta è al di sopra di quella della parabola, quindi la funzione da integrare sarà quella che si ottiene sottraendo all' equazione della retta quella della curva.
Il calcolo dell' integrale definito darà come risultato un numero che rappresenta l' area compresa fra le funzioni in esame.

FUNZIONE DI HEAVISIDE, FUNZIONE UNIT STEP, FUNZIONE GENERALIZZATA DELTA DI DIRAC

 FUNZIONE DI HEAVISIDE

Si tratta di una funzione così definita:

É anche detta funzione tetha o funzione gradino.

Funzione di Heaviside.

FUNZIONE UNIT STEP 

Si tratta di una funzione così definita:



{\ displaystyle H [n] = {\ begin {cases} 0, & n <0, \\ 1, & n \ geq 0, \ end {casi}}}

Tale funzione presenta una discontinuità di prima specie in x = 0, in quanto:

lim  U(x)= 1 ; lim U(x) =0 

 x→ 0+              x → 0-

con salto di discontinuità pari a 1.

Funzione Unit Step.

LE FUNZIONI PRESENTATE HANNO IN COMUNE IL PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE CON LA DIFFERENZA CHE LA HEAVISIDE NON É DEFINITA IN ZERO.

Identificazione della funzione di Heaviside con la Unit Step:

Funzioni di Heaviside, Unit Step, Delta di Dirac.

La derivata prima della funzione Unit Step è la funzione generalizzata Delta di Dirac.
(funzione in rosso in animazione)

LA FUNZIONE UNIT STEP E LA DELTA DI DIRAC sono utilizzate per applicazioni in campo fisico per lo studio di segnali attivati in un dato istante e mantenuti costanti successivamente.
La funzione generalizzata Delta di Dirac è, infatti, anche detta funzione impulsiva.

{\displaystyle \Theta (x)={\begin{cases}0,&x<0\\1,&x\geqslant 0\end{cases}}}

SISTEMI DI COORDINATE.

SISTEMI DI COORDINATE:

È importante scegliere il sistema più appropriato in relazione a come il moto (ad esempio di un punto materiale) è stato generato ed in relazione alla forma dei dati forniti. 

Fra i sistemi di coordinate possibili si distinguono le coordinate polari da cui si possono ricavare quelle cilindriche e sferiche come naturale espansione del sistema polare nelle tre dimensioni.

Passaggio da coordinate sferiche a coordinate cilindriche (3D)

COORDINATE POLARI

Sistema di coordinate polari (2D)

x= ρcos θ 

    y=  ρsin θ

                         Sistema di coordinate sferiche.

COORDINATE SFERICHE                                                        

x= ρ sin φ cos θ 
y=  ρ sin φ sin θ
z=  ρcos  φ 

                                            

                                               
COORDINATE CILINDRICHE

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \,\cos \phi \\y&=\rho \ \sin \phi \\z&=z\end{aligned}}}                         

                       

 

Sistema di coordinate cilindriche.

APPROFONDIMENTI_ ROTORE_ DIVERGENZA

CONCETTO DEGLI OPERATORI ROTORE E DIVERGENZA DAL PUNTO DI VISTA ANALITICO E FISICO.

ROTORE

É un operatore che trasforma un campo vettoriale di R3 in un campo vettoriale di R3.                     Infatti, se F : Ω →R3 è un campo vettoriale di classe C1 con Ω ⊆ R3  e F = (f1, f2, f3), allora il rotore di F è il campo vettoriale rotF : Ω → R3 definito da
rotF =( ∂f3/∂y −∂f2/∂z ,∂f1/∂z −∂f3/∂x ,∂f2/∂x −∂f1/∂y .)

INTERPRETAZIONE FISICA DEL CONCETTO DI ROTORE:
Consideriamo un fluido all' interno di un condotto.
Il rotore indicherà dal punto di vista pratico e fisico la tendenza delle linee di flusso a "ruotare" (come in una sorta di vortice) seguendo la direzione del flusso.
Quindi, avere un campo irrotazionale ovvero con rotore nullo significa che le linee di flusso procederanno parallele le une alle altre seguendo la direzione del flusso.


DIVERGENZA

É un operatore che trasforma un campo vettoriale di Rn in una funzione di n≥1variabili.
Infatti, se F : Ω → Rn é un campo vettoriale di classe C1 con Ω ⊆ Rn e
F =(f1, · · · , fn), allora la divergenza di F é la funzione divF : Ω → R definita da
divF =∂f1/∂x1+ · · · +∂fn/∂xn.

INTERPRETAZIONE FISICA DEL CONCETTO DI DIVERGENZA:
Consideriamo un volume V ad esempio di una vasca da bagno in cui scorre del fluido.
In vasca ci sarà la presenza di una sorgente (rubinetto) e di un pozzo (scarico per far sgorgare il fluido).  In prossimità del rubinetto si origineranno linee di flusso che tenderanno ad estinguersi in prossimità dello scarico.
La divergenza del campo ci starà ad indicare la presenza di sorgenti o pozzi.
Se avremo un campo con divergenza positiva significa che si avrà una "densità" di sorgenti maggiore (più sorgenti che pozzi).
Se avremo un campo con divergenza negativa significa che ci saranno più linee di flusso che tendono a estinguersi piuttosto che a generarsi.
È questo un esempio che permette di capire in modo intuitivo quello che è un concetto fisico e matematico che potrebbe sembrare "astratto".

In realtà tutti i concetti matematici attingono dall'esperienza quindi dalla fisica e possono e devono essere ricondotti al campo fenomenologico.

Concetto di rotore e di divergenza.

NUMERI COMPLESSI

I numeri complessi sono costituiti da una parte reale ed una immaginaria. 
z=x+iy é un numero complesso scritto in forma algebrica, ove "x" rappresenta la parte reale, "y" quella immaginaria ed "i" assume il nome di unità immaginaria per definizione. 
Il numero z=x+iy é rappresentato geometricamente nel piano di Argand-Gauss. 

Rappresentazione del numero z=x+iy nel piano di Argand-Gauss.

In figura vi é anche la rappresentazione del cosiddetto complesso coniugato. Nel piano complesso è ottenuto da z per simmetria rispetto all' asse reale.

Un numero complesso può essere, inoltre, espresso in forma trigonometrica ed esponenziale.

è la rappresentazione del complesso in forma trigonometrica.

Da quest' ultima formulazione segue la formula di De Moivre:

ove n sono le radici n-esime del numero complesso.   

 In forma esponenziale, invece, il complesso sarà così espresso: 

${\displaystyle z=re^{i\theta }}$

ove r rappresenta il modulo del complesso e θ  l' argomento  indicato in figura con φ.

Numero complesso z=x+iy

 Si ricordano le seguenti relazioni di modulo "r"  del numero complesso e di angolo φ che rappresenta l' argomento del complesso 

 per 

 per  

FIBONACCI E L' UNIVERSO. LA MATEMATICA E LA NATURA

La serie dei numeri di Fibonacci e la sua spirale logaritmica la si riscontra anche in natura, basti guardare la spirale di un uragano oppure di una galassia.

SERIE DI FIBONACCI

La successione di Fibonacci é una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero é la somma dei due precedenti.
Vi è una relazione fra  i numeri di Fibonacci e la cosiddetta "spirale logaritmica". Costruendo una serie di quadrati in cui il lato di ognuno di questi è dato dalla somma delle misure dei lati dei due precedenti, appare evidente che si tratta di una costruzione geometrica della serie di Fibonacci.
Se tracciamo un arco di cerchio avente per raggio il lato del quadrato, la figura che si ottiene è una spirale.

La spirale di Fibonacci.

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI CONVERGENTI
DEFINIZIONE:


$$\underset{n\to +\infty }{lim}{a}_n=L⟺\forall ϵ>0,\exists N_{ϵ}\in N\text{tale che}|a_n-L|<ϵ,\forall n>N_{ϵ}.$$

SUCCESSIONI DIVERGENTI
DEFINIZIONE:

$$\underset{n\to +\infty }{lim}{a}_n=+\infty ⟺\forall M>0,\exists N_M\in N\text{tale che}{a}_n>M,\forall n>N_M.$$